Jeffreys's law for general games of prediction: in search of a theory

We are interested in the following version of Jeffreys's law: if two predictors are predicting the same sequence of events and either is doing a satisfactory job, they will make similar predictions in the long run. We give a classification of instances of Jeffreys's law, illustrated with examples.Comment: 12 page

Leading strategies in competitive on-line prediction

We start from a simple asymptotic result for the problem of on-line regression with the quadratic loss function: the class of continuous limited-memory prediction strategies admits a "leading prediction strategy", which not only asymptotically performs at least as well as any continuous limited-memory strategy but also satisfies the property that the excess loss of any continuous limited-memory strategy is determined by how closely it imitates the leading strategy. More specifically, for any class of prediction strategies constituting a reproducing kernel Hilbert space we construct a leading strategy, in the sense that the loss of any prediction strategy whose norm is not too large is determined by how closely it imitates the leading strategy. This result is extended to the loss functions given by Bregman divergences and by strictly proper scoring rules.Comment: 20 pages; a conference version is to appear in the ALT'2006 proceeding

Competing with stationary prediction strategies

In this paper we introduce the class of stationary prediction strategies and construct a prediction algorithm that asymptotically performs as well as the best continuous stationary strategy. We make mild compactness assumptions but no stochastic assumptions about the environment. In particular, no assumption of stationarity is made about the environment, and the stationarity of the considered strategies only means that they do not depend explicitly on time; we argue that it is natural to consider only stationary strategies even for highly non-stationary environments.Comment: 20 page

Зручні підходи до синтезу 6-аміно- та 6-оксоімідазо[4,5-b]піразоло[3,4-е]піридинів

Aim. To develop convenient approaches to the synthesis of 6-amino- and 6-oxoimidazo[4,5-b]pyrazolo[3,4-e]pyridines as promising biologically active scaffolds.Results and discussion. It has been found that cyclocondensation of N-Boc-4-aminopyrazole-5-carbaldehydes with creatinine can be used as an effective method for obtaining 6-aminoimidazo[4,5-b]pyrazolo[3,4-e]pyridines previously unknown. For the synthesis of their 6-oxoanalogs, the reaction of 5-aminopyrazolo[4,3-b]pyridine-6-carboxylic acids used in a modifed Curtius rearrangement with diphenylphosphorylazide was successful. This method was implemented through the stage of the intermediate aminoisocyanates formation.Experimental part. The reaction of N-Boc-4-aminopyrazole-5-carbaldehydes with creatinine in the presence of pyrrolidine as a catalyst in refluxing acetic acid allowed to obtain 6-aminoimidazo[4,5-b]pirazolo[3,4-e]pyridines with the yields of 54 – 70 %. The structure of the compounds synthesized was proven by spectral measurements. In the 1H NMR spectra there were singlets of H-3 (7.63 – 7.88 ppm) and H-8 (7.87 – 8.26 ppm) protons, as well as broad singlets of the NH2 group in the range of 7.05 – 7.21 ppm. Heating of 5-aminopyrazolo[4,3-b]pyridine-6-carboxylic acids with triethylamine and diphenylphosphorylazide in dioxane for 6 hours gave 1-substituted imidazo[4,5-b]pyrazolo[3,4-е]pyridine-6(5Н)-ones with the yields of 67 – 80 %. The IR-spectra of the compounds synthesized were characterized by the absorption bands of the C=O (1705 – 1708 cm-1) and NH (3275 – 3281 cm-1) groups. 1H NMR-spectra were characterized by singlets of H-3 and H-8 protons in the intervals of 7.43 – 8.08 ppm and 7.92 – 8.32 ppm respectively, as well as by two broad singlets of NH-protons in the ranges of 10.90 – 11.12 ppm and 11.25 – 11.37 ppm.Conclusions. Effective approaches to the synthesis of new promising heterocyclic systems of 6-amino- and6-oxoimidazo[4,5-b]pirazolo[3,4-e]pyridines have been developed. Cyclocondensations of N-Boc-4-aminopyrazole-5-carbaldehydes with creatinine and 5-aminopyrazolo[4,3-b]pyridine-6-carboxylic acids with diphenylphosphorylazide have been proven to be convenient ways to obtain these compounds with good yields.Key words: N-Boc-4-aminopyrazole-5-carbaldehyde; creatinine; 5-aminopyrazolo[4,3-b]pyridine-6-carboxylic acid; diphenylphosphorylazide; 6-amino(oxo)imidazo[4,5-b]pyrazolo[3,4-e]pyridines;cyclocondensationМета роботи. Розробити препаративно зручний варіант синтезу 6-аміно- та 6-оксоімідазо[4,5-b]піразоло[3,4-е]піридинів як нових молекулярних платформ для дизайну біоперспективних сполук.Результати та їх обговорення. З’ясовано, що циклоконденсація N-Bос-4-амінопіразол-5-карбальдегідів із креатиніном може бути використана як ефективний метод одержання раніше не відомих 6-аміноімідазо[4,5-b]піразоло[3,4-е]піридинів. Для синтезу їх 6-оксоаналогів вдалим виявився модифікований варіант перегрупування Курціуса 5-амінопіразоло[4,3-b]піридин-6-карбонових кислот із дифенілфосфорилазидом, який було реалізовано через ключову стадію відповідних аміноізоціанатів.Експериментальна частина. Взаємодією N-Bос-4-амінопіразол-5-карбальдегідів із креатиніном у киплячій оцтовій кислоті в присутності піролідину як каталізатора синтезовано 6-аміноімідазо[4,5-b]піразоло[3,4-е]піридини з виходами 54 – 70 %. Їхню будову надійно доведено спектральними вимірюваннями. Зокрема, у спектрах 1Н ЯМР наявні синглети протонів Н-3 (7,63 – 7,88 м.ч.) та Н-8 (7,87 – 8,26 м.ч.), а також уширені синглети групи NH2 в діапазоні 7,05 – 7,21 м.ч. 5-Амінопіразоло[4,3-b]піридин-6-карбонові кислоти реагують із дифенілфосфорилазидом за нагрівання 6 год у діоксані в присутності триетиламіну з утворенням 1-заміщених імідазо[4,5-b]піразоло[3,4-е]піридин-6(5Н)-онів із виходами 67 – 80 %. ІЧ-спектри синтезованих сполук характеризуються смугами поглинання груп С=О (1705 – 1708 см-1) та NH (3275 – 3281 см-1),а 1Н ЯМР-спектри – синглетами протонів Н-3 та Н-8 відповідно в інтервалах 7,43 – 8,08 м.ч. і 7,92 – 8,32 м.ч. та двома широкими синглетами NH-протонів у діапазонах 10,90 – 11,12 м.ч. і 11,25 – 11,37 м.ч.Висновки. Розроблено ефективні підходи до одержання нових біопривабливих молекулярних платформ – 6-аміно- та 6-оксоімідазо[4,5-b]піразоло[3,4-е]піридинів, які ґрунтуються на циклоконденсаціях N-Bос-4-амінопіразол-5-карбальдегідів із креатиніном та 5-амінопіразоло[4,3-b]піридин-6-карбонових кислот із дифенілфосфорилазидом.Ключові слова: N-Bос-4-амінопіразол-5-карбальдегіди; креатинін; 5-амінопіразоло[4,3-b]піридин-6-карбонові кислоти; дифенілфосфорилазид; 6-аміно(оксо)імідазо[4,5-b]піразоло[3,4-е]піридини; циклоконденсаці

Universal Probability-Free Conformal Prediction

We construct universal prediction systems in the spirit of Popper's falsifiability and Kolmogorov complexity and randomness. These prediction systems do not depend on any statistical assumptions (but under the IID assumption they dominate, to within the usual accuracy, conformal prediction). Our constructions give rise to a theory of algorithmic complexity and randomness of time containing analogues of several notions and results of the classical theory of Kolmogorov complexity and randomness.Comment: 27 page

Game-theoretic versions of strong law of large numbers for unbounded variables

We consider strong law of large numbers (SLLN) in the framework of game-theoretic probability of Shafer and Vovk (2001). We prove several versions of SLLN for the case that Reality's moves are unbounded. Our game-theoretic versions of SLLN largely correspond to standard measure-theoretic results. However game-theoretic proofs are different from measure-theoretic ones in the explicit consideration of various hedges. In measure-theoretic proofs existence of moments are assumed, whereas in our game-theoretic proofs we assume availability of various hedges to Skeptic for finite prices